Новости
Статьи
Пересечение поверхности вращения с плоскостью. Пересечение сферы и тора плоскостью
24.08.2018
Сфера (шар) представляет собой единственное геометрическое тело, поверхность которого пересекается плоскостью любого положения всегда по окружности.
Секущие плоскости, проходящие через вертикальную ось сферы, рассекают ее по меридианам. Секущие плоскости, проходящие перпендикулярно к вертикальной оси сферы, рассекают ее по параллелям. Рис. 90
На рис. 91 изображена сфера в трех ортогональных проекциях, усеченная горизонтально-проецирующей плоскостью. Эта плоскость рассекает сферу по окружности, которая на горизонтальную плоскость проецируется в отрезок, совпадающий с горизонтальным следом P П1 секущей плоскости. Фронтальная и профильная проекции этой окружности изобразятся эллипсами, так как плоскость среза расположена наклонно к плоскостям П 1 и П 2 .
Построение эллипса (проекции фигуры сечения сферы плоскостью) начинают с построения характерных точек.
Характерными точками являются:
§ концы большой (С и D) и малой (А и В) осей эллипса;
§ точки, лежащие на фронтальном очерке сферы - N и M;
§ точки, лежащие на горизонтальном очерке сферы (А и В);
§ точки, лежащие на профильном очерке сферы (Е и F).
Малая ось эллипса: АВ будет лежать на экваторе. Точки А и В с горизонтальной проекции проецируют с помощью линий проекционной связи на фронтальную (А 1 и В 1)и профильную (А 3 и В 3)проекции экватора.
Большая ось эллипса располагается перпендикулярно к малой оси. Для ее построения на горизонтальной проекции из точки О 1 проводят перпендикуляр к малой оси АВ. Большая ось на горизонтальную плоскость проекций проецируется в точку D 1 ≡ С 1 . Из этой точки с горизонтальной проекции на фронтальную и профильную проводят линии проекционной связи. Большая ось на этих плоскостях проекций параллельна оси O Z и равна диаметру окружности, лежащей в плоскости среза. Это расстояние (АВ) измеряют на горизонтальной проекции и переносят на фронтальную и профильную проекции, получая фронтальную проекцию D 2 С 2 ипрофильную проекцию D 3 С 3 большой оси.
Рис. 91
Затем строятся точки N и M, лежащие на фронтальном очерке (меридиане) сферы, а также точки Е и F, лежащие на профильном очерке сферы.
Фронтальные проекции точек N и M - N 2 ; M 2 лежат на фронтальной проекции фронтального очерка сферы (на фронтальном меридиане сферы). Профильные проекции точек N и M - N 3 ; M 3 лежат на профильной проекции фронтального очерка сферы.
Профильные проекции точек Е и F – Е 3 и F 3 лежат на профильной проекции профильного очерка сферы (на профильном меридиане сферы).
Затем строятся промежуточные точки: 1, 2, 3, 4 с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательные параллели проводят так, чтобы окружность – линия сечения сферы проецировалась на плоскость проекций без искажения. В данном случае параллели должны быть параллельны фронтальной плоскости проекций. Проводим плоскости: R 1 и Q 1 , рассекающие сферу по окружностям радиусами r 1 иr 2 .Точки 1, 2, 3, 4 лежат на этих окружностях. Радиус параллели всегда замеряется в данной плоскости от оси поверхности вращения до очерка.
Взаимное пересечение поверхностей,
одна из которых - многогранная
Для закрепления темы «Сечения поверхностей плоскостью» и наглядного представления полезности пройденного предлагаем несколько примеров.
На рис. 95 и 96 приведены построения сквозных многогранных отверстий тел вращения.
Постарайтесь без дополнительных объяснений разобраться в построениях. На чертежах указаны все необходимые для построения характерные точки.
При решении задач на пересечение поверхностей плоскость следует придерживаться алгоритма построения:
1. Определить в пространстве форму линии сечения поверхности, заданными плоскостями.
2. Определить форму проекции линии сечения на всех плоскостях проекций, на которых по условию задачи выполняются изображения.
3. на проекции сечения, которая изображается прямой линией, совпавшей со следом секущей плоскости, обозначить проекции характерных точек искомой линии:
3.1. точки, принадлежащие очеркам поверхностей;
3.2. точки, по которым можно построить графическим приемом всю линию: для эллипса – большую и малую оси; для параболы и гиперболы – вершины и концы наибольшей хорды, для многоугольника – его вершины.
4. Построить недостающие проекции точек на чертеже.
5. Построить промежуточные точки лини сечения и соединить все точки с учетом видимости.
6. Обвести существующий очерк.
7. Провести прямые пресечения секущих плоскостей с учетом видимости.
В сечении конуса (рис. 95):
1. плоскостью Ψ получается парабола, так как плоскость параллельна одной образующей конуса SА;
2. плоскостью ω - круг радиуса О 2 Т 2 ;
3. плоскостью φ - треугольник, так как плоскость проходит через вершину конуса;
4. точки 7 и 8 называются точками-границами видимости для профильной проекции, так как они лежат на образующих конуса, очерковых для профильной проекции конуса.
На рис. 96 все три плоскости γ, ψ, ω пересекают сферу по окружностям, но проецируются они по-разному на различные плоскости проекций.
1. Точки 9, 10, 13, 14 - точки-границы видимости для профильной проекции.
2. Точки 7, 8, 11, 12 - точки-границы видимости для горизонтальной проекции.
3. А, В, С, В - концы осей эллипсов, в которые на П 1 и П 2 проецируется окружность плоскости ω.
На рис. 97 задан эпюр трехгранной пирамиды с трапецеидальным окном. Разберитесь в построениях. Постройте сами профильную проекцию.
Представляет плоскую кривую - окружность, принадлежащую секущей плоскости.
Построить сечение сферы плоскостью общего положения βТак как секущая плоскость общего положения, то эта окружность проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов. Для построения эллипса необходимо знать размеры эллипса по его осям большой и малой.
Для тел вращения, к каковым относят цилиндр, конус и сферу, линия сечения может быть построена с характерными точками кривой к которым относятся: - точки в которых меняется знак видимости; - точки в которых ее координаты принимают максимальные и минимальные значения: - x max ; x min ; - y max ; y min ; - z max ; z min ; Использование характерных точек позволяет выполнить более точное построение линии пересечения поверхности вращения и плоскости.Решение задачи на сечение сферы плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.
Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость β из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости β и проекцию шара. На следе плоскости β V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след. Линия сечения шара - точки A" 1 , B" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее на фронтальной плоскости проекций V 1 построим центр окружности сечения - точку C" 1 которую получим восстановив перпендикуляр из центра шара (точка 0" 1 ) к [ A" 1 B" 1 ] на их пересечении. Далее включаем обратное проецирование: через точки A" 1 , B" 1 и C" 1 проводим горизонтали h принадлежащие плоскости β , и на плоскости проекций H через центр шара проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 . Горизонтальный след плоскости γ 1 пресечет проекцию горизонтали h и определит в этом месте точку C` - центра окружности сечения. Горизонталь h` пересекает проекцию шара в точках D` и E` , определяя тем самым действительную величину отрезка [ DE ] - большой оси эллипса. Аналогично строятся точки A` и B` , определяющие величину отрезка [ A`B` ] - малой оси эллипса.
Проекции большой и малой оси эллипса на горизонтальную плоскость проекции H найдены, а это означает что эллипс - проекция окружности сечения на H может быть построен, смотри статью: Окружность
Повторим те же действия на для фронтальной плоскости проекций V и построим другой эллипс - проекцию окружности сечения на V .
Для нахождения точек указывающих границы видимости горизонтальной проекции окружности сечения
проводим через центр шара фронтально-проецирующую плоскость γ 2 ⊥ V β по горизонтали h(h`, h") . Линия h` пересекается с горизонтальной проекцией окружности сечения по точкам 5,6 указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на фронтальной проекции ниже следа плоскости γ 2 , на горизонтальной плоскости проекции H 5`, 6` ] - и будут на ней невидимы.
Для нахождения точек указывающих границы видимости фронтальной проекции окружности сечения. Проводим через центр шара горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 ⊥ H , которая пересечет плоскость β по фронтали f(f`, f") . Линия f" пересекается с фронтальной проекцией окружности сечения по точкам 7", 8" указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на горизонтальной проекции выше следа плоскости γ 1 , на фронтальной плоскости проекции V будут располагаться слева от отрезка [ 7", 8" ] - и будут на ней невидимы.
Пример построения линии среза на поверхности тела вращения сложной формы
Пересечение сферы плоскостью. Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции. Так, на рисунке 9.10 изображены проекции линий пересечения сферы и плоскостей горизонтальной Р (P v) и фронтальной S (S h). Они
пересекают сферу по окружности с центрами С (с" с, с") и C1 (с1", с1, с1") с проекциями в виде окружности и отрезка прямой. В примере, приведенном на рисунке 9.11, горизонтальная и профильная проекции линии пересечения сферы фронтально-проецирующей плоскостью - эллипсы, длины больших осей которых cd и c"d" равны величине диаметра окружности (a"b"). Малые оси эллипсов ab и а"b" получают проецированием. На рисунке 9.11 показано построение проекций некоторых точек. Проекции c u d построены на горизонтальной проекции параллели радиуса о-1, построенной с помощью проекции 1". Проекции с" и d" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции с" (d") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций. Проекция е является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции е". Горизонтальная проекция т произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса о-2, фронтальная проекция которой проходит через проекции т" и 2". Проекция f" является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
Линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят при помощи вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т. е. расположенные перпендикулярно оси тора или проходящие через его ось.
В примере на рисунке 9.12 показано применение вспомогательных плоскостей 7, (Т 1v) и Т г (T lv), перпендикулярных к оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью Р (Рw). Тор на рисунке 9.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R1 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью T1) касается проекции плоскости Р (следа Рw). Тем самым определяются профильная проекция 3" (о"3" перпендикулярна Рw) и по ней - фронтальная проекция 3" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 2 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью Т 2 . Она пересекает профильную проекцию плоскости Р (след Рw) в двух точках 5" и 7" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натуральной величины сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния 1 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 . Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рисунке 9.13. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Это кривые 4-го порядка. Вид кривых зависит от расстояния секущей плоскости до оси тора.
Многие детали приборов и машин имеют в своей основе форму тела вращения со сложной формой поверхности. Такое тело можно рассматривать как состоящее из частей элементарных тел вращения - цилиндра, конуса, сферы и тора или кругового кольца. Детали из такого тела вращения часто конструируют путем среза части тела плоскостью, параллельной оси. При этом в пересечении поверхности тела с плоскостью среза образуются сложные линии, построение которых и рассмотрено ниже. Эти линии, являющиеся частным случаем линии пересечения поверхности вращения с плоскостью (плоскость параллельна оси), называются линиями среза.
Пример чертежа тела вращения с построенными линиями среза приведен на рисунке 9.14. На чертеже оставлены некоторые вспомогательные линии построений и точки. При выполнении построений прежде всего устанавливают границы заданных поверхностей вращения и определяют элементарные поверхности: цилиндр, конус, сфера, тор. Для этого достаточно мысленно или на черновике дополнить участки поверхностей, как показано на рисунке 9.15. (На рисунке все составляющие поверхности для наглядности раздвинуты вдоль оси вращения.)
Разграничение участков элементарных поверхностей позволяет определить характер отдельных участков линий среза и правильно выбрать число и
расположение вспомогательных секущих плоскостей, необходимых для построения промежуточных точек на линии среза.
На чертеже границами поверхностей вращения являются линии касания или пересечения элементарных поверхностей. Их проекции в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси вращения, проводят через проекции точек сопряжения или пересечения образующих. Так, на рисунке 9.14 граница между сферой и конусом проведена через точку сопряжения дуги радиуса R, и образующей конуса. Эта точка определена с помощью перпендикуляра из проекции 0" центра сферы к образующей конуса. Граница между конусом и тором с радиусом образующей R 2 проведена через точку касания образующей конуса и дуги радиуса R 2 . Тоска сопряжения определена с помощью перпендикуляра, проведенного из центра дуги радиуса R 2 к образующей конуса. Граница между тором с радиусом образующей R 2 и тором с радиусом образующей R 3 проведена через точку сопряжения дуг с радиусами R 2 и R 3 . Точка сопряжения найдена с помощью прямой, соединяющей центры дуг. Границы между тором с радиусом образующей R 3 и цилиндром, между этим же цилиндром и тором с радиусом образующей R 4 проведены через точки сопряжения дуг указанных радиусов с образующей цилиндра.
Построенные границы элементарных поверхностей можно рассматривать и как линии пересечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси, в данном случае профильными плоскостями. Профильные проекции этих линий - окружности. В пересечении их с профильными проекциями плоскостей среза отмечают профильные проекции характерных точек на линии среза. Пример построения профильной проекции d" и по ней фронтальной проекции отмечен на рисунке 9.14. По положению проекции d", с", е", f" строят фронтальные проекции d", с", t", f" точек линии среза. Проекции а", к"(их проекции а", к" совпадают) построены по горизонтальным проекциям а, к.
В данном примере линия среза и ее фронтальная проекция состоят из следующих участков: на сфере радиуса R 1 - дуги окружности радиуса а "о; на конусе - части гиперболы с вершиной т"; на торе с радиусом образующей R г А-А (см. рис. 9.13); на торе с радиусом образующей R 3 - части кривой Персея, аналогичной кривой сечения В-В (см. рис. 9.13); на цилиндре - отрезков прямых, параллельных оси; на торе с радиусом образующей R4 - части кривой Персея, аналогичной кривой сечения Г-Г (см. рис. 9.13). Зная вид линии среза и положение проекций характерных и крайних точек линий, можно ограничиться построением проекций минимального числа промежуточных точек. На рисунке 9.14 показаны построения проекций промежуточных точек на участках k"f" b"c", c"d", d"e". Следует отметить, что точка 1" симметрична точке с", а точка 2" наиболее удалена от оси. Справа от точки 2" указана точка, симметричная точке 1".
(Пример детали с линией среза см. на рисунке 16.11.)